馬丁格爾套利策略(文章) @ Jerry期貨操盤手之路

外匯套利中的馬丁格爾(Martingale)策略其實是一種賭博策略，這個方法其實早在十八世紀發源於法國之後沒多久時間就在歐洲廣為人知，理論上這種策略絕對不會輸錢。

這個策略很簡單，在一個壓大或壓小的賭盤裡，一直不斷的只壓某一單邊(如壓大或壓小)，每輸錢一次，就把輸錢的數目乘上兩倍，一直到你的壓盤贏一次，就可以將前面所虧損的金額全部贏回來並多贏第一次所壓的金額。

讓我們用實例來說明，假設我們來到澳門賭場，有一個只能壓大小的台子，我們先從1元開始押(只能壓某一邊)，然後以2的倍數(2x1)n增加，也就是:1、2、4、8、16、32、64、128、256、512......，直到贏錢為止，然後又從頭開始(這樣算一回合)。

所以，每一回合，你一定會贏1 元。如果你手上有1024元，每天進賭場要贏10元，那你每天只要贏10回合就可以快快樂樂過一天。目前世界上有一些賭場是不太歡迎賭徒使用此方法。但懂機率又不貪的人，常常使用這種方法進賭場去白吃白喝同時順便觀光旅遊。

不過這個方法絕對不是穩贏不賠毫無風險，它的風險在於：有可能你還未贏到那「壓對」的一次，口袋的錢已經虧光。比如以上面例子來說，如果一連壓大，或一連壓小都輸了十次，那就是你會虧掉:1+2+4+8+16+32+54+128+256+512=1023。你只剩一塊錢，只好打電話叫你爸爸媽媽來帶你回家。但就機率而言，要連開十次大，或連開十次小的確是不簡單。

「機率」有所謂的單獨機率(Isolated probability)跟連續機率(continuous probability)，而連續出現大，或連續出現小的機率是以指數(Exponential)遞減。所以此方法有一句名言: 如果你有無限的財富，你就永遠不會輸錢。(Never lose money if you have infinite wealth. )

所以我們可以來算一下數學跟機率就可以看到一些有趣的現象。假設我們以q來代表虧損的機率(如果僅以壓大小為例是1/2，以美式輪盤為例是20/38)，以B來代表口袋中能壓大小的籌碼總量，以n來代表總共能夠虧損的次數。所以你總共虧損n次的機率是 qn。當你把你口中的籌碼都虧掉了，那表示你總共虧損的金額是:

而你不會虧損n次的機率是1 − qn 。假設你不會真的那麼倒楣虧損了n次數，而你所能夠贏到B數量的錢，那麼你每一回合能期待的利潤為:

所以，以上面例子來做說明，你會連續虧損10次的機率為:(1/2)^10=0.0009765=0.09765%，所以第十一次你可以贏回所有的虧損並多贏1塊錢的機率是: 1-(1/2)^10=99.9023%。

然而馬丁格爾策略可以適用於股市/期貨/外匯嗎？基本上是可以，但天底下沒有白吃的午餐，大部分交易者不喜歡使用這種策略來交易，原因是口袋不夠深，無法承受連續數次的累計虧損。就我而言也不建議初學者使用此策略來做外匯交易，因為如果僅單獨以此理論來做外匯交易，虧光戶頭裏銀子的機率很高。至於如何搭配使用此策略來戰勝市場，內容比較深，我們不在這篇文章討論。

運氣與機率(2) - 續談馬丁格爾套利策略之與市場對賭

這篇文章讓我們來討論一個問題，接續先篇文章所介紹的馬丁格爾(Martingale)策略，可以使用在外匯交易上面嗎？如果可以的話？怎麼做才不會虧光口袋的銀子？如果不可以又是為什麼？

我們知道此方法是以「機率」來贏過壓「大小」的賭盤。但在外匯市場裡，我們可以把「大小」看成是「漲跌」嗎？熟悉外匯的人都知道，市場的「漲跌」有時可不是賭大小的機率問題。使用馬丁格爾策略其實最怕的就是當你進場做「買」時，市場卻是一直不斷的下跌，或是當你進場做「賣」時，市場卻是一直不斷的上漲，這都是時常發生的事。依照馬丁格爾理論，因為到後面會越壓越大，所以虧損到後期非常有可能將戶頭的資金全部虧光。所以由此可知，馬丁格爾理論最適合用於「不斷一直走震盪」的市場，反而最怕「不斷一直走趨勢」的市場。

我們可以來計算一下機率，不管是何種商品，一般的商品交易大概會有四種市場狀況，就是「盤漲」 (震盪上漲)、盤跌(震盪下跌)，大漲﹝趨勢上漲﹞、大跌﹝趨勢下跌﹞。我們假設這四種市況會發生的機率都一樣，所以它們出現的機率就是各佔25%。就外匯市場來說也是一樣有此四種情形。馬丁格爾(Martingale)策略在「盤漲」跟「盤跌」的市場裡都可以獲利出場，就如同壓大小的檯子一樣，開幾次「大」後開「小」或開幾次「小」後開「大」，使用馬丁格爾策略都可以獲利出場。但是在市況是大漲﹝趨勢上漲﹞或大跌﹝趨勢下跌﹞，只要是押錯邊，如趨勢上漲時卻執行馬丁格爾策略的「賣」或都趨勢下跌時卻執行馬丁格爾策略的「買」，這時你進入「對的」市場的機率也是各占一半。所以，使用馬丁格爾策略在任何市場「贏的機率」是75%，就是「盤漲」+「盤跌」+「大漲」或「大跌」，輸的機率是25%，就是「大漲」或「大跌」。同時，只要一進入「輸的機率」的市場，那帳戶裡所有的錢虧光的機率幾乎是100%。

因此我們才會說馬丁格爾這種一直壓下去的策略可能適合賭場，但卻不一定適合外匯的貨幣交易。因為在外匯市況裡，某種貨幣組合走趨勢時，連續漲或連續跌一整年都是很常見，不過，如果仔細觀察，我們就會發現有些貨幣常常處在震盪趨勢，那就非常適合馬丁格爾策略。

因此根據我的經驗，馬丁格爾策略要使用在外匯市場，一定要慎選貨幣之外，也要搭配其他的策略一起使用才不會「被燙到」。比如說，EUR/CHF 跟AUD/NZD這二組是使用馬丁格爾策略的較佳貨幣。原因是EUR 跟CHF，AUD 跟NZD是高度連動(Correlation) 的貨幣。因此，這兩組貨幣比其他的或幣組都易處於「震盪」的市況，而比較不常處於所謂的「趨勢」市況，讀者可以自行查看歷史就知道。

所以這兩組貨幣是最常被馬丁格爾策略愛好者所使用的貨幣！當然，這二組貨幣也是「紅財神外匯套利自動交易系統」交易策略組合之一了。

先前的兩篇文章，已經大略談過馬丁格爾的策略跟風險所在。這種策略雖然賭贏市場的機率高達75%，然而只要當市場與你是反方向的趨勢線，那非常有可能會將帳戶裡所有的錢都虧光。馬丁格爾策略也被稱之為「金字塔型交易」 (Pyramidical Trading)，當它進場後遇到反市場趨勢，因為越到後期開倉數越大，這時虧損也會變得越大。因此，使用此策略做市場套利者，一定要有一個可以「全身而退」的計畫，以下是本人的一些建議供大家參考：

第一點是程式或策略本身需要有完整且考慮周詳的「資產保護計畫」。例如：設定當你進入的市場剛好與你的程式是反方向趨勢時，當帳戶虧損達到多少時可以停損出場。這點非常重要，因為如果不這樣做，很容易會虧光帳戶裡所有的錢。
第二點是程式或策略本身可以在必要時啟動「直接對沖」(Direct Hedge)。直接對沖的目的在規避反方向趨勢時的不斷擴大的虧損，並且「直接對沖」的開倉數是須經過數學運算過的，此目的不是為了獲利而是為了縮小虧損出場。
第三點是「每三個月不管獲利多少，一定要將利潤全部匯回自己口袋」。也就是說，每一季匯回一次交易帳戶的獲利，一般而言三個月應該可以有15%至30%的獲利。將所有獲利匯回自己口袋後，帳戶將只保留最原本投入的資金。當所有匯回的利潤已超過原本投入的資金(就是獲利100%)後，可改為每當獲利達50%時匯回一次。當匯回的利潤又達到投入的資金(就是第二次的獲利100%)，可改為每獲利達100%時匯回一次，之後就是每次達100%的獲利時就匯回利潤。

這樣的機制，是針對應用馬丁格爾套利策略時，發生反方向長趨勢市場時的資金保護退場機制。它除了能有效保障利潤之外，也比較不至於讓自己的資金處於高度風險之中。

有關於馬丁格爾理論的相關文章我已經在(運氣與機率(1) - 絕不輸錢的馬丁格爾套利策略), (運氣與機率(2) - 續談馬丁格爾套利策略之與市場對賭), 以及(運氣與機率(3) - 三談馬丁格爾套利策略之資金保護退場機制)這三篇文章裡簡單的介紹過了，不過這篇文章我還是想再與讀者討論相關數學及機率理論部分的「方法學」，也會討論在「資金管理學」上有名的凱莉公式(Kelly Criterion)。首先，我們先回顧何謂馬丁格爾(Martingale)策略。所謂的馬丁格爾(Martingale)策略其實是一種「賭博策略(Betting strategy)」。這個方法其實早在十八世紀發源於法國，當時有一對夫婦男的叫做馬丁(Martin)女的叫格爾(Gale)。每個月當馬丁(Martin)賺多少錢時格爾(Gale)就會把它花光並多花一些錢，這對夫婦發現如果這種情形一直下去，不久後他們將會破產。所以最後馬丁格爾(Martingale)夫婦決定從此不管每個月當馬丁(Martin)賺多少錢，格爾(Gale)每個月至少要留下一塊錢。由此而衍生出了馬丁格爾(Martingale)策略。策略很簡單，就是任何在一個壓大或壓小的賭盤裡，一直不斷的只壓某一單邊(如壓大或壓小)，每輸錢一次，就把輸錢的數目乘上兩倍，一直到你的壓盤贏一次，就可以將前面所虧損的金額全部贏回來並多贏第一次所壓的金額。

以下是使用數學機率所計算馬丁格爾策略。假設我們以 q 來代表虧損的機率 (以美式輪盤為例是20/38，所以虧損機率為52.6%)，以 B 來代表賭客口袋中能壓大小的籌碼總量，以n 來代表總共能夠虧損的次數。所以你總共虧損 n 次的機率是 q^n。而當你把你手中的籌碼都虧掉了，那表示你總共虧損的金額是:

而你不會虧損 n 次的機率是 1 − qⁿ 。假設你不會真的那麼倒楣虧損了 n 次數，而你所能夠贏到 B 數量的錢，那麼你每一回合能期待的利潤為:

因為由上面的例子來說明，虧損的機率為 52.6%，而上面公式中 1 − (2q)^n = 1 - (2*52.6%)^n，而且 n > 0 (n 代表總共能夠虧損的次數，因此 n>0)，所以你會的到一個負值。這就表示在任何一次賭注裡面，你所能期待的「利潤」為負值，也就是說其「虧損的機率」會大於「獲利的機率」。

若以實例來說明，假設我們拿6300元來到澳門賭場玩美國輪盤，我們先從100元開始押紅色 (18個紅色與20個非紅色，所以贏率為18/38，而輸率為20/38)，然後以2的倍數(2)^n增加，也就是:100、200、400、800、1600、3200......，直到贏錢為止，然後又從頭開始(這樣算一回合)。如果你輸了五次，那你會虧損100+200+400+800+1600 = 3100元，當你連續輸到第六次，那你會虧光所有的錢(3100+3200=6300)。所以，以這個例子來做說明，你會連續虧損6次的機率為: (20/38)^6=2.1256%，而第六次你可以贏回所有的虧損並多贏1塊錢的機率是: 1-(20/38)^6=97.8744%。

為何這次舉的例子是以美國輪盤而非是壓大小，且我舉的例子是連續六次虧損而非連續八次虧損，九次虧損或者是十次虧損呢?

當然這部分跟外匯交易有關。在我的舊文章(深入亞馬遜叢林 - 外匯市場裡的陷阱與騙局)有做過分析，外匯投資者在外匯市場若以機率來看，贏率絕對是低於50%(也就是虧損機率高於50%)，所以應該以美國輪盤的輸率 52.6% 來當成外匯的例子會比壓大小的輸率50%來的正確一點。另外，為何舉「連續六次虧損」為例子呢? 因為「連續六次虧損」是最被賭徒視為「不可能機率」的一個臨界點，這個在心理學上稱為「典型啟發」(Representativeness Heuristic)。不過我們來看實際的情形。以美國輪盤為例，其輸率為q=20/38=52.6%，而「連續六次虧損」其「輸的機率」變成: q^6 = 2.1256%。這是當我們以「單獨連續性」六次虧損所算出來的機率。然而，如果我們再深入算下去，你會得到一個很意外的結果。

當我們進場賭73次的時候，你會在某個點上「連續六次虧損」的機率竟然會變成50.3% (算法為: (1-0.526316)x0.021256 = 0.010069，0.978744 x (1-0.010069)^67 = 0.49683，1-0.49683 = 50.3%)。也就是假設你口袋僅有6300元每次壓100元，以「馬丁格爾」策略來壓「美國輪盤」，在你壓「美國輪盤」73次當中有一次會超過「連續六次虧損」的機率是50.3%。但馬丁格爾策略是只要超過「連續六次虧損」這種情形發生一次，你就破產。且當你壓美國輪盤150次當中有一次會超過「連續六次虧損」的機率則是77.2%，而若你壓美國輪盤250次當中有一次會超過「連續六次虧損」的機率則變成91.1%。請注意，馬丁格爾策略是只要發生「一次」高於你所能承受的最大虧損，你就破產。所以你玩越久且連續性越多次，破產機率就越高。

我們回過頭來看一般的賭場。小的賭場可能一開始就限制你使用馬丁格爾策略，但有些中大型賭場雖然允許你使用馬丁格爾策略但卻限制最多你只能壓六次(因為「典型啟發」)。賭場也不是笨蛋，他們都知道你所知道的所有技巧。由上面的數學你可以清楚知道，為何只要賭徒進了賭場坐下來長時間與賭場對賭，一般都是輸光盤纏而回。而外匯市場或其他金融市場也可以被視為相類似情形，因為你是站在輸的機率大於50%的一方，從數學機率理論來看，長期下來在市場成為輸家的機率相當高。

接下來我們來談「凱莉公式」(Kelly Criterion)。這個公式的目的是希望以機率方式來算出最合理的投資金額來讓自己可以在長遠的投資下是個「投資贏家」。假設有一個壓大小賭盤，贏了就贏回所壓的錢，輸了則輸去所壓的錢。凱莉公式(Kelly Criterion)提出一個公式建議投資者應該以多少比率的資金來進行投資或押大小的賭盤。公式如下。

以上公式之:

f* 為壓在賭注上的全部資金比率(例如若為10%，當你有100元時，就表示最多只能拿100*10%=10元下注)。
b 為賭盤上的淨賠率 (一般是設賠率為一，就是b = 1)。
p 為賭盤上贏的機率。
q 為賭盤上輸的機率。它也等於1 − p。

由上面的公式，我們假設有一個賠率是1比1(b=1)的賭盤，因為b=1，所以上面的公式就變成:

我們再假設如果該賭盤贏的機率是60%而輸的機率是40%，也就是上面公式中的 p=0.6 而 q=0.4，若我們想成為「長期的贏家」，我們每次下注的金額為資金總金額的:

0.6-0.4 =0.2 = 20%

也就是說，在上面這個賭盤條件下，只要你每次下注是低於你資產總金額的20%，你就可以成為「長期的贏家」。

不過使用「凱莉公式」有一個條件，就是當f* 是一個負值時，這個賭盤就變成不適用。f*如何會變負值? 當 b < q/p時，f* 就變成負值。也就是說在任何賠率(b)小於輸率除以贏率的賭盤，f* 就變成負值。例如，以「美國輪盤」為例，其賠率是1比1，所以 b=1。但輸率為q=20/38=52.6%，而贏率為 p=18/38=48.4%，所以 b(=1) < 52.6/48.4。就以上面公式套到「美國輪盤」來說，其結果如下所示。

18/38 - 20/38 = -1/19

以上f* 變成負值。因此若以「凱莉公式」的建議，那就是「不要玩美國輪盤」。因為在這種條件下的賭盤你是無論如何都不可能成為「長期的贏家」。

同時「凱莉公式」對連續賭注的每一筆賭注事實上是設為一個獨立機率(Independent)，而且「凱莉公式」僅對每一筆賭注的最小投資額做建議，它不是產生遞增現象，而是平均分攤的模式，再依照機率下算出來的結果，以最佳的資金達到長期獲利的效果。

所以假設我們要利用「馬丁格爾」與「凱莉公式」在外匯上操作，我們應該如何設計一個合適的「資金管理」來讓我們的程式可以達到「長期的贏家」?

我們來看「紅財神外匯自動交易程式」在「資金管理」上的設計。我們依照前面「馬丁格爾」策略論述裡所談到的「典型啟發」(Representativeness Heuristic)為「連續六次虧損」。所以資金的設計就是以七次「連續虧損」為基準。同時在傳統的「馬丁格爾」策略是以2^n為乘積，但實際做法上2^n的遞增操作模式在外匯市場是極為高風險，因此「紅財神外匯自動交易程式」建議是以1.3~1.5之間為乘積。我們將統一以1.3為例子。所以，以下簡單的數學運算當:

x = lot

y = Multiplier (乘積)

所以:

Level 1 = x

Level 2 = xy

Level 3 = xy²

Level 4 = xy³

Level 5 = xy⁴

Level 6 = xy⁵

Level 7 = xy⁶

當你達到第七階時，就是「連續虧損七次」後你所開的總Lot數為:

x + xy + xy²+ xy³ + xy⁴ + xy⁵ + xy⁶

由以上公式，當我們設定程式為:

x = 0.01 lot

y = 1.3 (乘積)

所以:

Level 1 = 0.01

Level 2 = 0.02

Level 3 = 0.03

Level 4 = 0.04

Level 5 = 0.05

Level 6 = 0.07

Level 7 = 0.09

當你達到第七階時，就是「連續虧損七次」後你所開的總Lot數為:

0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.05 +0.07 + 0.09 = 0.31 Lot

所以，若我們是在一個允許1:100的槓桿下的外匯經紀商交易，若我們只使用10%的Margin，那安全的操作資金就需要3100美金。

若我們以「典型啟發」(Representativeness Heuristic)之「連續六次虧損」為標準，達到第六階時的總開倉數目 = 0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.05 +0.07 = 0.22 Lot，若我們只使用10%的Margin，所以我們建議使用「紅財神外匯自動交易程式」的最低資金要求則為2500美金。因此在我們的程式設定上，常常將Break Even階層設為第六層而開始對沖層則設為第七層就是這個原因。